Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это постоянное число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается буквой q.

Например: 2, 6, 18, 54, 162…

Здесь каждый следующий элемент в 3 раза больше предыдущего:

• 6 = 2 × 3
• 18 = 6 × 3
• 54 = 18 × 3

Значит, знаменатель прогрессии равен q = 3.

Основные признаки геометрической прогрессии

Последовательность считается геометрической, если для любых соседних членов выполняется правило:

q=\frac{a_{n+1}}{a_n}

То есть отношение любого члена к предыдущему всегда одинаково.

Например:

5, 10, 20, 40, 80

• 10 ÷ 5 = 2
• 20 ÷ 10 = 2
• 40 ÷ 20 = 2

Следовательно, это геометрическая прогрессия со знаменателем 2.

Чем геометрическая прогрессия отличается от арифметической

В арифметической прогрессии к каждому числу прибавляют одно и то же значение.

Например: 3, 7, 11, 15, 19

Каждый раз прибавляется 4.

В геометрической прогрессии числа не прибавляются, а умножаются: 3, 6, 12, 24, 48

Каждый раз происходит умножение на 2.

Поэтому арифметическая прогрессия растет постепенно, а геометрическая может увеличиваться очень быстро.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Чтобы найти любой член прогрессии, используют формулу:

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

где:

a₁ — первый член;

q — знаменатель;

n — номер члена.

Пример

Дана прогрессия:

3, 6, 12, 24, …

Найдем пятый член.

Первый член: 3

Знаменатель: 2

Подставляем значения:

a₅ = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48

Ответ: 48.

Получите до 5 уроков по математике в подарок

1. Запишите ребенка на первый пробный урок
2. Оплатите пакет занятий в течение 24 часов
3. Получите до 5 уроков в подарок

Где встречается геометрическая прогрессия

Геометрические прогрессии часто встречаются в реальной жизни:

• начисление процентов по банковскому вкладу;
• рост населения;
• распространение информации в социальных сетях;
• размножение бактерий;
• расчет сложных процентов;
• компьютерные алгоритмы.

Например, если сумма вклада ежегодно увеличивается на 10%, то рост денег происходит по принципу геометрической прогрессии.

Может ли прогрессия уменьшаться?

Да. Если знаменатель находится между 0 и 1, члены последовательности будут уменьшаться.

Например: 100, 50, 25, 12,5, 6,25…

Здесь каждый следующий член получается умножением на 0,5. Такая прогрессия постепенно стремится к нулю.

Сумма членов геометрической прогрессии

Для нахождения суммы нескольких первых членов используют специальную формулу:

S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}

Она помогает быстро вычислять сумму без сложения каждого числа по отдельности.

Например, вместо того чтобы складывать: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32

можно воспользоваться формулой и получить результат значительно быстрее.

Интересный пример

Представьте, что на первой клетке шахматной доски лежит 1 зерно риса, на второй — 2, на третьей — 4, на четвертой — 8 и так далее. На каждой следующей клетке количество зерен удваивается.

Получается геометрическая прогрессия: 1, 2, 4, 8, 16, 32…

К концу доски количество зерен становится настолько огромным, что их масса превышает мировые запасы риса. Этот пример показывает, насколько быстро может расти геометрическая прогрессия.

Поможет разобраться с прогрессиями, последовательностями и другими темами школьной математики тренер в Айтигенио, международной онлайн-школе для детей 5–17 лет. Запишитесь на бесплатный урок прямо сейчас.

Кратко

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называется знаменателем прогрессии. Геометрические прогрессии используются в математике, экономике, информатике, биологии и многих других областях, где процессы развиваются по принципу постоянного увеличения или уменьшения в несколько раз.