Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одно и то же число. Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии.

Например: 2, 5, 8, 11, 14, 17…

Здесь каждое следующее число больше предыдущего на 3. Число 3 — это разность прогрессии.

Другой пример: 20, 15, 10, 5, 0…

В этом случае разность равна −5, поэтому числа постепенно уменьшаются.

Основные элементы арифметической прогрессии

У любой арифметической прогрессии есть несколько важных характеристик:

• Первый член — число, с которого начинается последовательность.
• Разность прогрессии (d) — число, которое прибавляется или вычитается при переходе к следующему члену.
• n-й член прогрессии — любой элемент последовательности, который можно найти по формуле.

Например, в прогрессии: 7, 10, 13, 16, 19…

• первый член = 7;
• разность = 3;
• пятый член = 19.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Чтобы найти любой член последовательности, используют формулу: a_n=a_1+d(n-1)

где:

• (a_n) — нужный член прогрессии;
• (a_1) — первый член;
• (d) — разность;
• (n) — номер члена.

Пример:

Найдем 10-й член прогрессии: 3, 7, 11, 15, …

Здесь:

• (a_1 = 3)
• (d = 4)
• (n = 10)

Получаем:
(a_10= 3 + 4 \(10 — 1))

(a_10 = 3 + 36 = 39)

Ответ: 39.

Получите до 5 уроков по математике в подарок

1. Запишите ребенка на первый пробный урок
2. Оплатите пакет занятий в течение 24 часов
3. Получите до 5 уроков в подарок

Сумма членов арифметической прогрессии

Часто требуется найти сумму нескольких первых членов последовательности. Для этого используют специальную формулу:

S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}

где:

• (S_n) — сумма первых (n) членов;
• (a_1) — первый член;
• (a_n) — последний член;
• (n) — количество членов.

Пример:

Найдем сумму чисел:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

Здесь:

• первый член = 1;
• последний член = 10;
• количество членов = 10.

Подставляем в формулу:

(S_{10} = (1 + 10) \times 10 / 2 = 55)

Ответ: 55.

Где встречается арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия используется не только в математике, но и в повседневной жизни:

• накопление одинаковой суммы денег каждый месяц;
• увеличение зарплаты на фиксированную величину;
• нумерация рядов и мест;
• расчет расстояний и временных интервалов;
• программирование и работа с массивами данных.

Например, если каждый месяц откладывать на 100 рублей больше, чем в предыдущий, получится арифметическая прогрессия: 100, 200, 300, 400 и так далее.

Поможет разобраться с арифметической прогрессией, формулами и решением задач преподаватель математики в Айтигенио, международной онлайн-школе для детей 5–17 лет. Запишитесь на бесплатный урок прямо сейчас.

Как определить арифметическую прогрессию

Чтобы понять, является ли последовательность арифметической прогрессией, нужно проверить разность между соседними числами.

Например:

4, 9, 14, 19, 24

Проверяем:

• 9 − 4 = 5
• 14 − 9 = 5
• 19 − 14 = 5
• 24 − 19 = 5

Разность везде одинаковая, значит это арифметическая прогрессия.

Если разность меняется, последовательность арифметической прогрессией не является.

Краткий вывод

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое следующее число получается прибавлением или вычитанием одного и того же числа. Это число называется разностью прогрессии. Для арифметической прогрессии существуют формулы нахождения любого члена и суммы нескольких членов. Тема является одной из базовых в школьной математике и часто встречается на контрольных работах, экзаменах и олимпиадах.