Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма — это величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Проще говоря, это «размер» поверхности внутри параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Его площадь можно вычислить разными способами, но основная идея всегда одна: мы измеряем, насколько «широк» и «высок» этот наклонный четырехугольник.

Классическая формула площади параллелограмма:

S = a · h

Где: a — длина основания, h — высота, опущенная на это основание.

Другие формулы площади параллелограмма

У параллелограмма есть несколько способов вычислить площадь. Какой именно выбрать — зависит от того, какие данные даны в задаче.

• Если известна сторона и высота, опущенная на эту сторону
  

Площадь находят по формуле:
S = a · h.
То есть нужно перемножить длину стороны и высоту, перпендикулярную к ней.

• Если известны две стороны и угол между ними

В этом случае берут произведение длин двух соседних сторон и умножают его на синус угла между ними по формуле:
S = a · b · sin(α).

• Если известны только диагонали параллелограмма
  

Площадь можно вычислить так:
S = (d₁ · d₂ · sin(φ)) / 2.

Берут половину произведения длин диагоналей, умноженного на синус угла между ними.

Начните учиться бесплатно:
6 онлайн-курсов — в одном месте

IT, нейросети, творчество — всё, чтобы

ребенок развивался и вдохновлялся

• онлайн
• детям 6-16 лет

Начать учиться

Теорема и доказательство 

• Площадь параллелограмма через основание и высоту

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, опущенную к этому основанию: S = a · h, где : a — длина основания, h — высота, перпендикулярная к этому основанию.

Доказательство

1. Возьмем параллелограмм ABCD с основанием AD.
   Проведем высоту из вершины B на основание AD (или его продолжение). Пусть основание высоты — точка H, тогда BH ⟂ AD, длина BH = h.
2. Теперь мысленно «отрежем» треугольник AHB и «перенесем» его к правой стороне параллелограмма, к вершине D. Геометрически это означает: если провести через D прямую, параллельную AB, то треугольник AHB совпадет с треугольником DKC (по двум сторонам и углу между ними).
3. После такого перестроения мы получим прямоугольник с тем же основанием AD и той же высотой h. Разрезали фигуру, кусок переставили, площадь не изменилась.
4. Площадь прямоугольника равна произведению его стороны на высоту: S = основание · высота = a · h.
5. Значит, площадь исходного параллелограмма тоже S = a · h. Теорема доказана.

• Площадь параллелограмма через две стороны и угол

Формулировка: 

Если известны две соседние стороны параллелограмма и угол между ними, то площадь равна S = a · b · sin(α)

Где: a и b — длины соседних сторон, α — угол между ними.

Доказательство

1. Рассмотрим тот же параллелограмм со сторонами a и b. Пусть угол между ними равен α.
2. Высота h, опущенная к стороне a, является катетом прямоугольного треугольника, где гипотенуза — сторона b.
3. По определению синуса: sin(α) = h / b, откуда h = b · sin(α).
4. Подставим высоту в формулу площади из первой теоремы: S = a · h = a · (b · sin(α)) = a · b · sin(α).

Теорема доказана.