Теорема Виета

Теорема Виета — это простой и полезный инструмент алгебры, который помогает находить связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями. Благодаря этому правилу можно проверить решение или даже подобрать корни без развернутых вычислений и без использования формулы дискриминанта. 

Школьники знакомятся с теоремой в курсе алгебры основной школы. Названа она в честь французского математика Франсуа Виета, который сформулировал это свойство в XVI веке.

Основные понятия

Прежде чем разбирать содержание теоремы, важно уточнить несколько ключевых терминов, связанных с квадратными уравнениями.

Классическое квадратное уравнение записывается так:

ax² + bx + c = 0

Здесь a, b, c — числовые коэффициенты, а x — переменная. Условие a ≠ 0 обязательно, иначе уравнение перестанет быть квадратным. В задачах по теореме Виета также обычно используют обозначения: S — сумма корней, P — произведение корней.

Суть теоремы Виета

Если у уравнения ax² + bx + c = 0 есть два корня — x₁ и x₂, то они связаны с коэффициентами следующими равенствами:

x₁ + x₂ = –b / a
x₁ · x₂ = c / a

Эти формулы позволяют быстро получать информацию о корнях: их сумму и произведение. Это удобно, когда нужно составить уравнение по известным корням или проверить правильность решения.

Как решать задачи с помощью теоремы Виета

Теорема Виета позволяет находить свойства корней квадратного уравнения без вычисления дискриминанта. Она особенно полезна в задачах, где нужно подобрать корни, сравнить их или составить уравнение по известным значениям.

Вот основные типы задач и способы их решения:

1. Подбор корней без формулы дискриминанта

Если дано уравнение: x² + px + q = 0, то по теореме Виета корни должны удовлетворять:

x₁ + x₂ = –p
x₁ · x₂ = q

Чтобы найти корни, подбирают два числа, сумма которых равна –p, а произведение — q.

Пример:
x² – 5x + 6 = 0
Сумма корней = 5
Произведение = 6
Подходят числа 2 и 3.

2. Составление уравнения по известным корням

Если заданы корни x₁ и x₂, то квадратное уравнение строят по формуле: x² – (x₁ + x₂)x + x₁·x₂ = 0

Это прямое применение теоремы Виета.

Пример:
Корни: 4 и –1
Сумма = 3
Произведение = –4
Уравнение: x² – 3x – 4 = 0

3. Решение задач с параметрами

Когда в уравнении есть параметр, часто проще работать не с дискриминантом, а с суммой и произведением корней. 

Типичная задача: найти параметр k, чтобы корни были положительными.

Используем условия:

• сумма корней > 0;
• произведение корней > 0. Так можно быстро определить, при каких значениях k решение подходит.

4. Сравнение корней

Если нужно понять, какой корень больше, используют выражения:

• сумма корней = S
• произведение = P и свойства знаков:

• если P < 0 → корни разноименные → положительный всегда больше;
• если P > 0 и S > 0 → оба корня положительные;
• если P > 0 и S < 0 → оба отрицательные.
  

5. Нахождение выражений через корни

Во многих задачах требуется найти:

• x₁² + x₂²
• 1/x₁ + 1/x₂
• x₁³ + x₂³
• разность корней 

Теорема Виета позволяет выражать все через сумму и произведение. Примеры:

• x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ 
• 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁ + x₂) / (x₁x₂) 
• |x₁ – x₂| = √[(x₁ + x₂)² – 4x₁x₂]