Площадь квадрата

Площадь квадрата — это числовая величина, которая показывает, сколько пространства занимает квадрат на плоскости. Квадрат имеет четыре равные стороны и прямые углы, поэтому формула площади опирается на длину одной стороны.

Определение: площадь квадрата — это произведение длины его стороны на саму себя.

Формула: S = a²
где S — площадь, a — длина стороны квадрата.

Эта формула работает для любого квадрата, независимо от его расположения на плоскости. Достаточно знать длину одной стороны, чтобы точно вычислить площадь.

Что такое площадь 

Площадь — это величина, которая показывает, какую часть поверхности занимает фигура. Она измеряет размер двумерного пространства внутри границы фигуры.

Проще говоря, площадь отвечает на вопрос: сколько места занимает фигура на плоскости. Главные моменты:

• площадь бывает только у плоских фигур (квадрат, прямоугольник, круг);
• измеряется в квадратных единицах: см², м², мм²;
• чтобы найти площадь, используют специальные формулы для каждой фигуры.

• Читайте также: Как найти площадь круга?

Формула нахождения площади квадрата 

• Если известна длина стороны квадрата

Площадь квадрата напрямую зависит только от одной величины — длины его стороны. У квадрата все стороны равны, поэтому, чтобы узнать площадь, нужно сторону умножить саму на себя.

Формула: S = a²

Почему работает именно так:

Площадь — это количество единичных квадратов, которые поместятся внутри фигуры. Если сторона квадрата — a, то по горизонтали помещается a единиц, и по вертикали тоже a. Всего получится a × a, то есть a².

Это самая простая и ключевая формула площади квадрата. Все остальные выводятся из нее.

Пример 1.

Сторона квадрата a = 6 см

Площадь: S = 6² = 36 см²

Пример 2.

Сторона квадрата a = 4,5 м

Площадь: S = 4,5² = 20,25 м²

Начните учиться бесплатно:
6 онлайн-курсов — в одном месте

IT, нейросети, творчество — всё, чтобы

ребенок развивался и вдохновлялся

• онлайн
• детям 6-16 лет

Начать учиться

• Если известен периметр квадрата

Когда нам дают периметр, прямой длины стороны у нас нет. Но мы можем легко ее найти, потому что у квадрата четыре равные стороны.

Шаг 1. Что такое периметр квадрата

Периметр — это сумма всех сторон.

У квадрата стороны равны, поэтому: P = 4a

Это значит: чтобы найти одну сторону, нужно общий периметр разделить на 4.

Формула стороны: a = P / 4

Шаг 2. Подставляем в формулу площади

Мы знаем, что площадь квадрата — это: S = a², заменяем a выражением P/4:

S = (P / 4)²

Это и есть окончательная формула площади через периметр.

Пример 1.

Периметр квадрата P = 20 см

Сторона: a = 20 / 4 = 5 см

Площадь: S = 5² = 25 см²

Или сразу по формуле:

S = (20 / 4)² = 5² = 25 см²

Пример 2.

Периметр квадрата P = 36 м

Сторона: a = 36 / 4 = 9 м

Площадь: S = 9² = 81 м²

• Если известен радиус описанной окружности (R)

Описанная окружность — это такая окружность, которая проходит через все четыре вершины квадрата. То есть квадрат как бы «вписан» в окружность.

Чтобы найти площадь квадрата через радиус этой окружности, нужно понять связь между окружностью и квадратом.

Шаг 1. Что связывает квадрат и описанную окружность

Диаметр описанной окружности — это расстояние между двумя противоположными вершинами квадрата. Это расстояние называется диагональ квадрата. Значит: диаметр окружности = диагональ квадрата:

d = 2R

Шаг 2. Формула диагонали квадрата

Диагональ квадрата выражается через сторону: d = a√2

Это следует из теоремы Пифагора: диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами a и a.

Шаг 3. Находим сторону квадрата

Мы знаем два выражения для диагонали:

d = 2R

d = a√2

Приравниваем:

a√2 = 2R

Находим сторону:

a = (2R) / √2

Деление на √2 можно упростить: (2R) / √2 = R√2

Итог: a = R√2

Шаг 4. Находим площадь квадрата

Формула площади: S = a²

Подставляем найденную сторону: S = (R√2)²

Квадрат от √2 равен 2, поэтому: S = 2R²

Это окончательная формула. Итоговая формула площади через радиус описанной окружности:

S = 2R²

Пример 1.

Радиус описанной окружности: R = 5 см

Площадь: S = 2 × 5² = 2 × 25 = 50 см²

Пример 2.

Радиус описанной окружности: R = 3 м

Площадь: S = 2 × 3² = 2 × 9 = 18 м²