Перпендикуляр и наклонные к плоскости

Перпендикуляром к плоскости называют прямую, которая образует прямой угол со всеми прямыми, лежащими в этой плоскости и проходящими через точку пересечения. Такая прямая стоит к плоскости «строго вертикально». Если точка соединения одна, то перпендикуляр единственный.

Наклонная — это любая прямая, которая пересекает плоскость, но не образует с ней прямой угол. Она соединяет точку, расположенную вне плоскости, с любой точкой на самой плоскости. Наклонная всегда длиннее перпендикуляра, проведенного из той же точки.

Кратко разница

• Перпендикуляр образует угол 90 градусов с плоскостью.
• Наклонная образует угол меньше 90 градусов.

Перпендикуляр — самый короткий отрезок от точки до плоскости. Наклонные — все остальные пути, ведущие к этой плоскости.

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая a перпендикулярна плоскости α, а из точки пересечения этой прямой с плоскостью проведена прямая b в самой плоскости α, то любая прямая, проходящая через эту точку и лежащая в плоскости, будет перпендикулярна наклонной, проекция которой идет вдоль b.

В более привычной школьной формулировке:

Если прямая перпендикулярна плоскости, то проекция любой наклонной, проведенной из этой точки, перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость.

Основные типы задач по теме

1. Нахождение длины перпендикуляра и наклонной

Задачи, где дана точка вне плоскости и несколько путей к плоскости.

Пример:

Точка A находится вне плоскости. Длина перпендикуляра AH равна 6 см. Длина наклонной AB — 10 см. Найдите BH — проекцию наклонной.

2. Сравнение наклонных, проведенных из одной точки

Нужно определить, какая наклонная длиннее, если их проекции разные.

Пример:

Из точки A к плоскости проведены наклонные AB и AC. Проекция AB равна 4 см, AC — 7 см. Какой отрезок длиннее и почему?

3. Углы между прямой и плоскостью

Нужно по длинам наклонной и ее проекции вычислить угол наклона к плоскости.

Пример:

Дана наклонная AB = 13 см и ее проекция BH = 5 см. Найдите угол между прямой AB и плоскостью.

4. Построение перпендикуляра к плоскости

Проверка умения строить высоту из точки к плоскости.

Пример:

Из точки A, находящейся над плоскостью треугольника, проведите перпендикуляр к этой плоскости и отметьте точку основания.

5. Проверка, является ли прямая перпендикуляром

Задачи на доказательство.

Пример:

Прямая a пересекает плоскость α в точке M. Докажите, что a ⟂ α, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

6. Связь перпендикуляра и наклонных

Нужно найти отношение, сравнить, доказать равенство.

Пример:

Из точки A проведены наклонные AB и AC. Их проекции равны, а длины наклонных различаются. Докажите, что перпендикуляр один и имеет минимальную длину.

7. Задачи на теорему о трех перпендикулярах

Пример:

AB — наклонная к плоскости α, AH — перпендикуляр. HC — проекция наклонной. Докажите, что AB ⟂ l, если HC ⟂ l (l лежит в плоскости α).

8. Геометрические задачи со стереометрических чертежей

На построение правильных сечений, высот, расстояний.

Пример:

В правильной четырехугольной пирамиде провести высоту из вершины к основанию. Найти угол между боковым ребром и основанием.

Начните учиться бесплатно:
6 онлайн-курсов — в одном месте

IT, нейросети, творчество — всё, чтобы

ребенок развивался и вдохновлялся

• онлайн
• детям 6-16 лет

Начать учиться

Основные теоремы

1. Теорема о перпендикуляре к плоскости

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.

Смысл:

Чтобы доказать, что прямая стоит вертикально к плоскости, достаточно проверить перпендикулярность двум любым пересекающимся линиям внутри плоскости.

2. Теорема о проекциях наклонных

Если из точки A проведены к плоскости наклонные, то наклонная тем длиннее, чем длиннее ее проекция на плоскость.

Смысл:

Сравниваем проекции — сразу понимаем, какая наклонная будет длиннее.

3. Теорема о взаимосвязи перпендикуляра и наклонных

Перпендикуляр из точки к плоскости — самый короткий отрезок, соединяющий точку с плоскостью.

Смысл:

Все наклонные длиннее перпендикуляра.

4. Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая a перпендикулярна плоскости α, а на плоскости α проведена прямая b, то проекция наклонной, проведенной из той же точки, будет перпендикулярна b.

Смысл:

Вертикаль задает прямой угол между проекциями.

5. Теорема о равных наклонных и проекциях

Если из точки A к плоскости проведены две наклонные одинаковой длины, то их проекции на плоскость тоже равны. И наоборот: если проекции равны, то и наклонные равны.

Смысл:

Длина наклонной полностью определяется ее проекцией и высотой точки над плоскостью.

6. Теорема о расстоянии от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Смысл:

«Расстояние» и «перпендикуляр» — одно и то же в этой теме.