Свойства и график функции y = sin(x)

Функция y = sin(x) — это периодическая тригонометрическая функция, задающая зависимость между углом и значением синуса. Она описывает равномерные колебания и часто встречается в геометрии, физике и математическом анализе.

Основные свойства y = sin(x)

1. Область определения

Функция определена при всех действительных x. Синус можно вычислить для любого угла.

2. Область значений

Синус принимает значения от –1 до 1. Выше и ниже этой границы функция не поднимается.

3. Периодичность

Функция периодическая с периодом 2𝜋. Это значит, что ее график полностью повторяется через каждые 2𝜋: 

sin(x+2π)=sin(x).

4. Нечетность

Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

sin(−x)=−sin(x).

5. Максимумы и минимумы
   

Максимум: y = 1 при x = 𝜋/2 + 2𝜋k.
Минимум: y = −1 при x = 3𝜋/2 + 2𝜋k.
(k — целое число)

6. Нули функции

Синус равен нулю при 𝑥=𝜋𝑘, где k — целое число. График пересекает ось x в этих точках.

7. Монотонность

Функция возрастает на промежутках: [-𝜋/2 ; 𝜋/2].
Функция убывает на промежутках: [𝜋/2 ; 3𝜋/2].

Далее интервалы повторяются с периодом 2𝜋.

Начните учиться бесплатно:
6 онлайн-курсов — в одном месте

IT, нейросети, творчество — всё, чтобы

ребенок развивался и вдохновлялся

• онлайн
• детям 6-16 лет

Начать учиться

Как построить график y = sin(x)

1. Подготовьте оси координат
   Проведите горизонтальную ось x и вертикальную ось y.
   Отметьте единичный масштаб: 1 клетка = 1 по оси y и, например, 𝜋/2 по оси x.
2. Выберите ключевые точки
   Синус — периодическая волна, поэтому достаточно взять характерные точки на одном периоде от 0 до 2*𝜋.

Вот опорные значения для вашего графика:

x: 0
y: sin(0) = 0

x: 𝜋/2
y: sin(𝜋/2) = 1

x: 𝜋
y: sin(𝜋) = 0

x: 3𝜋/2
y: sin(3𝜋/2) = -1

x: 2𝜋
y: sin(2𝜋) = 0

3. Отметьте эти точки на графике
   Поставьте точки в координатах: (0, 0), (𝜋/2, 1), (𝜋, 0), (3𝜋/2, -1), (2𝜋, 0).
4. Соедините точки плавной волной
   Синус — гладкая колебательная кривая. Плавно поднимите линию от (0,0) к (𝜋/2, 1), затем опустите ее к (𝜋, 0) и дальше вниз к (3𝜋/2, -1).
   Завершите волну подъемом к (2𝜋, 0).
5. Повторите волну влево и вправо
   Используйте периодичность: sin(x + 2𝜋) = sin(x).
   Сдвиньте волны на 2𝜋 вправо и влево, если нужен более длинный график.
6. Добавьте подписи
   Подпишите важные точки: 0, 𝜋/2, 𝜋, 3𝜋/2, 2𝜋.
   Отметьте уровни y = 1 и y = -1.

Итоговая форма графика
Это волнообразная линия, которая плавно поднимается до уровня 1 и опускается до -1, повторяясь каждые 2*𝜋.