Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей всех ее боковых граней. Эти грани всегда являются параллелограммами, потому что призма имеет два параллельных и равных основания, а остальные ребра идут параллельно друг другу.

Коротко: боковая поверхность показывает, сколько «материала» нужно, чтобы обернуть призму по бокам без учета оснований.

Что такое призма

Призма — это многогранник, который имеет два одинаковых и параллельных основания и боковые грани в виде параллелограммов. Ее легко представить как фигуру, полученную «поднятием» плоского многоугольника вверх на некоторую высоту.

Коротко: призма — это объемная фигура, основание которой повторяется дважды (сверху и снизу), а все боковые ребра параллельны и равны.

Основные элементы призмы

• Основания — два равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях.
  
• Боковые грани — параллелограммы, соединяющие соответствующие стороны оснований.
  
• Боковые ребра — отрезки, соединяющие вершины двух оснований; они равны и параллельны друг другу.
  
• Высота призмы — перпендикуляр между плоскостями оснований.

Виды призм

1. Прямая призма
   Высота перпендикулярна основанию. Боковые грани — прямоугольники.
2. Наклонная призма
   Высота падает под углом, боковые грани — параллелограммы.
3. Правильная призма
   Основание — правильный многоугольник (равные стороны и углы), призма — прямая. Боковые ребра одинаковы, боковые грани — одинаковые прямоугольники.

Начните учиться бесплатно:
6 онлайн-курсов — в одном месте

IT, нейросети, творчество — всё, чтобы

ребенок развивался и вдохновлялся

• онлайн
• детям 6-16 лет

Начать учиться

Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей всех ее боковых граней. Формула зависит от того, прямая призма или наклонная. 

• Площадь боковой поверхности прямой призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы находят по одной простой формуле. Она работает всегда, если боковые ребра перпендикулярны основанию и боковые грани являются прямоугольниками.

S_бок = P_осн · h

P_осн — периметр основания призмы,

h — высота призмы.

Почему так

Боковая поверхность прямой призмы — это несколько прямоугольников. Каждый прямоугольник имеет:

• одну сторону, равную стороне основания,
• вторую — равную высоте призмы.
  

Если «развернуть» призму, боковая поверхность превратится в один длинный прямоугольник. Его:

• ширина — высота h,
• длина — периметр P_осн.
  

Поэтому площадь = длина × ширина.

• Площадь боковой поверхности наклонной призмы

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляют иначе, чем у прямой, потому что ее боковые грани — параллелограммы, и их площади могут отличаться друг от друга. Единой короткой формулы здесь нет — площадь находят, складывая площади всех боковых граней отдельно.

Общая формула: S_бок = S₁ + S₂ + … + S_n

где

Sᵢ — площадь i-й боковой грани (параллелограмма),

n — количество боковых граней (совпадает с количеством сторон основания).

• Как найти каждую грань

Каждая боковая грань — параллелограмм. Его площадь можно найти по одной из формул:

• Через основание и высоту параллелограмма

S = a · hₐ, где:

a — сторона основания призмы,

hₐ — высота параллелограмма, проведенная к этой стороне.

• Через две стороны и угол между ними

S = a · b · sin α

• Через векторное произведение (если геометрия на продвинутом уровне)

S = |a × b|

Важно

У наклонной призмы высота не равна боковому ребру. Поэтому нельзя использовать формулу прямой призмы Pо​сн⋅h. Здесь каждая грань имеет «свою» высоту, падающую на сторону основания.

• Пример

Основание — четырехугольник со сторонами: a = 5 см, b = 6 см, c = 4 см, d = 7 см.

Пусть высоты соответствующих боковых граней:  h₁ = 9 см, h₂ = 8 см, h₃ = 9 см, h₄ = 7 см.

Тогда площадь боковой поверхности:

S_бок = 5·9 + 6·8 + 4·9 + 7·7

S_бок = 45 + 48 + 36 + 49 = 178 см²